В 1966 А.А. Самарский был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1976 году академиком. С 1953 г. по 1991 гг. А. А. Самарский возглавлял отдел в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР. В 1986 году по инициативе и под руководством А.А.Самарского всего за один год была разработана Общегосударственная Программа по развитию и применению методов математического моделирования в науке и народном хозяйстве, был организован Всесоюзный Центр математического моделирования, преобразованный в 1990 году в первый в стране Институт математического моделирования РАН, создан журнал "Математическое моделирование". Создание первого в нашей стране и во всем мире Института математического моделирования позволило, несмотря на все трудности переходного периода, сохранить мировой уровень российской науки в этой важнейшей для нашей страны области. Научные разработки нового института связаны с широким кругом фундаментальных проблем моделирования и новых информационных технологий, включая построение математических моделей и вычислительных алгоритмов, составлением, тестированием, применением пакетов прикладных программ для инженерных и учебных задач.
Заслуженный профессор МГУ А. А. Самарский 60 лет преподавал в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова - его Alma Mater, и около 30 лет - в МФТИ. Александр Андреевич был замечательным педагогом, много работал со студентами и аспирантами. Начав преподавательскую деятельность в Московском университете в 1945 году, Александр Андреевич преподавал на факультетах физическом, механико-математическом, вычислительной математики и кибернетики (ВМиК), в организации которого в 1970 году он принял активное участие. В 1982 году А. А. Самарский возглавил на факультете ВМиК организованную им кафедру вычислительных методов с двумя лабораториями (разностных схем и математического моделирования). Он также - основатель и заведующий кафедрой математического моделирования в Московском физико-техническом институте. Эти кафедры подготовили многие сотни высококвалифицированных специалистов в области вычислительной математики, вычислительного эксперимента и математического моделирования.
А. А. Самарский обладал блестящим талантом руководителя, умевшего увлечь своим примером молодежь. В созданную им большую всемирно известную научную школу математической физики и математического моделирования входят не только выпускники российских вузов, но и многие зарубежные ученые. Среди его учеников свыше 40 докторов и 100 кандидатов наук, 3 академика и 4 член-корреспондента РАН, члены зарубежных академий наук. Научные школы, созданные при непосредственном участии А.А. Самарского, ныне активно работают не только в России, но и в Белоруссии, Украине, Грузии, Азербайджане, Армении, Латвии, Литве, Узбекистане, Западной Европе и США. А.А. Самарский организовывал и проводил многочисленные всесоюзные, российские и международные научные конференции. Большой вклад в развитие отечественной школы вычислительной математики и математического моделирования внесли также регулярные всесоюзные и всероссийские школы-конференции молодых ученых, объединившие специалистов всей страны. К ученикам у Александра Андреевича было особе отношение, он всегда проявлял к ним огромную заботу, искренне любил многих своих учеников, одаривал своих учеников таким количеством блестящих идей, что их хватило бы на сотни научных исследований.
Научные достижения и труды А.А. Самарского используются не только всеми специалистами по прикладной математики в России, но и высоко оценены международным научным сообществом. Научные достижения А.А. Самарского нашли отражение в большом числе монографий и учебников, А.А. Самарский - автор более 30 монографий, учебников, задачников и популярных книг, многие из которых переведены на иностранные языки. Мировую известность приобрели классические университетские учебники «Уравнения математической физики (в соавторстве с А.Н. Тихоновым), «Теория разностных схем», «Введение в численные методы». По теории численных методов издана большая серия книг: «Введение в теорию разностных схем», «Численные методы», «Устойчивость разностных схем», «Методы решения сеточных уравнений», «Разностные методы решения задач газовой динамики», и другие.
Выдающуюся научно-исследовательскую и педагогическую деятельность Александр Андреевич успешно сочетал с научно-организационной работой и активной пропагандой необходимости развития математического моделирования. Он являлся заместителем академика-секретаря Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации РАН и председателем Научного совета по комплексной проблеме «Математическое моделирование» при Отделении. А.А. Самарский был председателем Национального комитета по математическому моделированию, представляющего отечественную науку в международной ассоциации «Математика и компьютеры в моделировании» (IMACS), главным редактором созданного по его инициативе журнала «Математическое моделирование», являлся членом редколлегий шести отечественных и иностранных научных журналов.
Самарский в жизни был очень скромным человеком, и мало кто знал, что он имел множество званий и наград. А.А. Самарский – Герой Социалистического труда, лауреат Ленинской, Государственных (СССР и России), Ломоносовской премий; награжден орденами Ленина (трижды), Октябрьской революции, Трудового Красного Знамени, Дружбы народов, Славы и Отечественной войны 1-й степени, медалями "За оборону Москвы", "За победу над Германией", " Народное Ополчение Москвы" и многими другими. А.А. Самарский удостоен званий Почетного доктора и Почетного профессора ряда отечественных и зарубежных университетов, избран почетным членом Академий наук Украины, Белоруссии, Грузии.
А.А. Самарский оставил о себе добрую память как яркий многогранный человек, выдающийся учёный, и блестящий педагог, внесший неоценимый вклад в науку. Александра Андреевича отличали огромная увлеченность наукой, неиссякаемое трудолюбие, неутомимость в поиске новых знаний, забота и внимание к ученикам и коллегам, доброжелательность, скромность. Александр Андреевич был человеком огромной эрудиции, разносторонних интересов, увлекался философией, литературой и поэзией, историей, географией, обладал искрящимся чувством юмора, был открыт ко всему новому. Александр Андреевич был глубоко интеллигентным и исключительно порядочным человеком, добрым и заботливым, замечательным мужем, отцом, дедом.
Александр Андреевич - ярчайший представитель российских патриотов, отдавших все силы своего выдающегося интеллекта и горячего сердца на благо своей Отчизны. Своими научными достижениями академик А.А. Самарский способствовал повышению уровня обороноспособности нашей страны. Вся его судьба неразрывно связана с историей отечественной науки, которой он беззаветно служил, полностью отдавал свои силы и талант ради блага и процветания нашей Родины.
Под руководством А.Н. Тихонова и А.А. Самарского была выполнена беспрецедентная задача: впервые был проведен прямой расчет атомного взрыва, а в дальнейшем возглавляемая ими научная группа провела и расчет динамики взрыва термоядерной бомбы. Вычислительная математика в то время была еще в зародыше. Необходимо было найти эффективные и надежные численные методы для решения возникших задач беспрецедентной сложности. Такие методы создавались, применялись для расчета энерговыделения изделий, проводились физические испытания, совершенствовались методы и технология. Работы, проходившие в сотрудничестве с крупнейшими физиками (И.Е. Таммом, А.Д. Сахаровым, Я.Б. Зельдовичем и др.) в 1949-1953 гг., внесли существенный вклад в создание «ядерного щита» нашей Родины, а также обеспечили приоритет в математической разработке этих проблем. С 1950 года началась эра термоядерных изделий, расчет которых породил много вычислительных трудностей. Появление в начале 1950-х годов первых отечественных ЭВМ открыло новые горизонты для проведения вычислительного эксперимента. Несмотря на весьма скромные по современным меркам возможности ЭВМ, благодаря разработке эффективных численных методов удавалось решать необходимые для обороны и народного хозяйства страны задачи, проводить математическое моделирование реальных изделий до, а иногда и вместо физических их испытаний. Так создавалось новое направление на стыке наук - математическое моделирование и вычислительный эксперимент как новая методология и технология исследований. Выдающаяся роль в этом деле принадлежала Александру Андреевичу Самарскому. Именно тогда А. А. Самарский начинает активно работать в области теории разностных схем и создает научную школу в этом направлении. А. А. Самарский становится одним из ведущих в мире специалистов по теории разностных схем. В 1957 году А. А. Самарский защитил докторскую диссертацию, посвященную постановке и разностным методам решения нелинейных задач математической физики.
А. А. Самарский создал фундаментальную общую теорию разностных схем. А. А. Cамарскому принадлежат фундаментальные результаты по трем основным направлениям теории разностных методов: теории сеточной аппроксимации уравнений математической физики, теории устойчивости разностных схем, теории построения и обоснования методов решения уравнений с помощью разностных схем высокого порядка точности на неравномерных сетках.
А. А. Самарский является одним из основоположников и идеологов современного математического моделирования в естественных науках. Появление и прогресс отечественной школы математического моделирования, во многом обязаны неутомимой деятельности А.А. Самарского, по выражению которого методология математического моделирования сделалась интеллектуальным ядром информатики, важным фактором формирования современного информационного общества. Вся научная деятельность А.А.Самарского и руководимых им коллективов была посвящена пропаганде математического моделирования, осознанию "неизбежности новой методологии". Ему принадлежат многие основополагающие идеи в области математического моделирования, в том числе формулировки Вычислительного эксперимента и знаменитой триады: Модель – Алгоритм – Программа. Под его руководством впервые были проведены циклы исследований методами вычислительного эксперимента многих актуальных задач ядерной физики, физики плазмы, явления Т-слоя, управляемого термоядерного синтеза, плазменные явления в Токомаках, лазерно-плазменная обработка материалов, задач магнитной и радиационной гидродинамики, задач лазерной термохимии и конвекции, автокаталитических процессов в химии и т. д. Благодаря усилиям академика А.А. Самарского и его научной школы математическое моделирование в настоящее время приобрело статус самостоятельной науки.